数论定理

初等数论是研究数的规律,特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法,主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之,初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论(用解析的方法研究数论)、代数数论(用代数结构的方法研究数论)。
初等数论有以下几部分内容:
1.整除理论。引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。这一理论的主要成果有:唯一分解定理、裴蜀定理、欧几里德的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。
2.同余理论。主要出自于高斯的《算术研究》内容。定义了同余、原根、指数、平方剩余、同余方程等概念。主要成果:二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理(即中国剩余定理)等等。
3.连分数理论。引入了连分数概念和算法等等。特别是研究了整数平方根的连分数展开。主要成果:循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。
4.不定方程。主要研究了低次代数曲线对应的不定方程,比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了四次费马方程的求解问题等等。
5.数论函数。比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。
6.高斯函数。
初等数论是一个理论层次
第一个层次叫做数学概念,是反映对象的本质属性的思维形式。人类在认识过程中,从感性认识上升到理性认识,把所感知的事物的共同本质特点抽象出来,加以概括,就成为概念。表达概念的语言形式是词或词组。科学概念,特别是数学概念要求更加严格,至少必须具备三个条件:专一性,精确性,可以检验。例如:”孪生素数“就是一个数学概念。
第二个层次叫做数学命题,数学命题是对一系列数学概念之间的关系作出判断的句子。一个命题要么真,要么不真(这由逻辑中的排中律保证)。真命题包含定理,引理,推论,事实等。命题既可以是存在性命题(表述为”存在......."),也可以是全称命题(表述为“对于一切.....")。
  第三个层次叫做数学理论,把方法,公式,公理,定理,原理,组合成为一个体系叫做数学理论。例如“初等数论”,由公理(例如等量公理),定理(例如费马小定理),原理(例如抽屉原理,一一对应原理),公式等组成。
  在数学证明时,全称命题常常不能通过枚举法来判断真伪,这是因为数学有时面对的是无穷多个对象,永远不可能一一枚举出每一种情况。不完全归纳法在数学中是不可行的,数学只承认演绎逻辑(数学归纳法,超限归纳法等均属于演绎逻辑)。
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